余切定理（Law of Cotangents）是三角学中用于求解三角形的重要工具，尤其关联内切圆半径（ζ）和半周长（s）。下面内容是其核心公式、几何意义及应用技巧：

1. 余切定理公式

余切定理描述了三角形内角的一半的余切值与边长、内切圆半径的关系：

对于三角形内角 ( alpha, beta, gamma ) 及其对边 ( a, b, c )，半周长 ( s = fraca+b+c}2} )，内切圆半径 ( zeta = sqrtfrac(s-a)(s-b)(s-c)}s}} )，有：

[

cotfracalpha}2} = fracs-a}zeta}, quad cotfracbeta}2} = fracs-b}zeta}, quad cotfracgamma}2} = fracs-c}zeta}

]

几何意义：角的一半的余切值等于“半周长减去对边”与内切圆半径的比值。

2. 关键推论：面积与内切圆半径

余切定理可直接推导出三角形面积公式：

[

ext面积} S = s cdot zeta

]

证明思路：

将三角形分割为6个直角三角形（内切圆圆心到各边），每两组直角三角形的面积和为 ( zeta cdot (s-a) )、( zeta cdot (s-b) )、( zeta cdot (s-c) )。总面积：

[

S = zeta(s-a) + zeta(s-b) + zeta(s-c) = zeta(3s

(a+b+c)) = zeta cdot s

]

（因 ( a+b+c = 2s )）。

3. 与其他三角定理的关系

余切定理常与下面内容定理结合使用：

正弦定理：( fraca}sinalpha} = fracb}sinbeta} = fracc}singamma} = 2R )（( R ) 为外接圆半径）

余弦定理：( c^2 = a^2 + b^2

2abcosgamma )（用于求角或边）

正切定理：( fraca-b}a+b} = frac

anfracalpha-beta}2}}

anfracalpha+beta}2}} )（比较边角关系）

> 余切定理的优势：直接关联内切圆半径，适用于含内切圆的难题（如求半径、面积或半角）。

4. 应用步骤与实例

难题类型：已知部分边长和角度，求内切圆半径、面积或半角。

步骤：

1. 计算半周长 ( s = fraca+b+c}2} )；

2. 用余弦定理求未知角（若需）；

3. 代入余切定理求 ( zeta ) 或其他量。

例题：

已知三角形边长 ( a=5, b=6, c=7 )，求内角 ( gamma ) 的半角余切和内切圆半径。

解：

1. 半周长 ( s = frac5+6+7}2} = 9 )；

2. 余弦定理求 ( gamma )：

[

cosgamma = fraca^2+b^2-c^2}2ab} = frac25+36-49}60} = frac1}5} implies gamma = cos^-1}(0.2) approx 78.46^circ

]

3. 内切圆半径 ( zeta = sqrtfrac(9-5)(9-6)(9-7)}9}} = sqrtfrac24}9}} = frac2sqrt6}}3} )；

4. ( cotfracgamma}2} = fracs-c}zeta} = frac9-7}frac2sqrt6}}3}} = frac3}sqrt6}} = fracsqrt6}}2} ).

拓展资料

余切定理的核心价格在于统一内切圆半径与角度半角的关系，尤其适用于：

① 含内切圆的三角形难题；

② 与面积公式 ( S = s cdot zeta ) 结合快速求面积；

③ 半角计算（如证明恒等式）。

实际应用中，建议先掌握正弦/余弦定理，再根据难题需求选择是否引入余切定理。